REPRESENTACION MATRICIAL DE
TRANSFORMACIONES TRIDIMENCIONALES
Las transformaciones
tridimensionales se pueden representar con matrices de 4 X 4, siempre y cuando
usemos representaciones de coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio
tridimensional. Así, en lugar de representar un punto como (x, y, z), lo hacemos
como (x, y, z, W), donde dos de estos cuádruplos representan el
mismo punto si uno es un multiplicador distinto de cero del otro: no se permite
el cuádruplo (0, 0, 0, 0). Como sucede en el espacio bidimensional, la
representación estándar de un punto (x, y, z, W) con W ≠ 0 se indica (x/W,
y/W, z/W, 1).
La transformación de
un punto a esta forma se denomina homogeneización, igual que antes. Además los
puntos cuya coordenada W es cero se llaman puntos en el infinito.
Las transformaciones geométricas tridimensionales que se estudian son
tres en concreto: traslación, escalado y rotación.
** TRASLACIÓN **
Nos permitirá cambiar la posición de un objeto,
moviéndolo en línea recta desde una posición inicial a la posición final.
Requiere
3 parámetros:
Tx = Desplazamiento en X
Ty = Desplazamiento en Y
Tz = Desplazamiento en Z
Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
x’= x+Tx
y’= y+Ty
z’= z+Tz
Donde:
Tx, Ty,Tz > 0 Desplazamiento
positivo
Tx, Ty,Tz < 0 Desplazamiento
negativo
Tx,Ty,Tz = 0 No hay desplazamiento
La matriz que utilizamos en la Translación es de
la forma:
Y al realizar la matriz el resultado grafico es
el siguiente:
** ESCALADO **
La matriz para la transformación de escalación de una posición P = (x,
y, z) con respecto del origen de las coordenadas. Consiste en cambiar el tamaño
de un objeto. Las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes
ecuaciones:
− x’= x Sx
− y’= y Sy
− z’= z Sz
Requiere 3 parámetros:
Sx = Factor de escalación en X
Sy = Factor de escalación en Y
Sz = Factor de escalación en Z
Sx,Sy,Sz > 1 Aumenta la
dimensión
Sx,Sy,Sz < 1 Disminuye la
dimensión
Sx,Sy,Sz = 1 Se mantiene la
dimensión
La matriz que se utiliza para la escalación es de la forma:
La resultante de la matriz dentro de una grafica tridimensional seria:
** ROTACIÓN **
Para generar una transformación
de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girara el objeto,
y la cantidad de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).
Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de
cualquier línea en el espacio.
Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a
los ejes de coordenadas.
Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto
a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el
observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el
origen de coordenadas.
Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto
a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el
observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el
origen en coordenadas.
Se forma una matriz de rotación inversa al sustituir el ángulo de rotación
θ por –θ. Los valores negativos para los ángulos de rotación generan rotaciones
en una dirección en el sentido del reloj, de modo que se produce la matriz
identidad cuando se multiplica cualquier matriz de rotación por su inverso.
Consiste en girar un objeto alrededor de uno de los ejes de
coordenadas. Respecto al eje Z,
Por ejemplo, las nuevas coordenadas se obtienen mediante las siguientes
ecuaciones:
− x’= x cos(α)- y sen(α)
− y’= x sen(α)+ y cos(α)
− z’= z
Donde α es el ángulo de giro
Las matrices que se utilizan para cada eje de coordenadas son las
siguientes:
Y gráficamente los resultados
son:
Rotación con respecto al eje X
Rotación con respecto al eje Y
Rotación con respecto al eje Z
COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENCIONEALES
La composición de de transformaciones tridimensionales es la transformación
de dos traslaciones sucesivas.
Es decir que resulta de la multiplicación de nuestra matriz de puntos
de la figura original, por el resultado de la multiplicación de la matriz de la
primera traslación por la matriz de la segunda traslación.
De esta manera de estas operaciones matriciales obtenemos los nuevos
puntos de nuestra figura trasladada.
DONALD HEARN / M. PAULINE BAKER
INTEGRANTES DEL EQUIPO:
Rosas de la Cruz Carlos Abdel
Pérez de Luna José Luis
Félix Nazario Enrique
Quiñonez Elizondo Giordano
Palacios Pérez Fausto Alberto
Córdova Vargas Krithian Josue
